Tuesday, January 26, 2016

ဖြံ႔ၿဖိဳးဆဲႏုိင္ငံမ်ားတြင္ ရွစ္ႀကိမ္ေျမာက္ သိပံၸႏွင့္သခ်ၤာပညာေရး ဆုိင္ရာ ေဆြးေႏြးပဲြ အေတြ႔အႀကံဳမ်ား - အပုိင္း 3 ေဒါက္တာခင္ေမာင္ဝင္း (သခ်ၤာ)

ဖြံ႔ၿဖိဳးဆဲႏုိင္ငံမ်ားတြင္ ရွစ္ႀကိမ္ေျမာက္ သိပံၸႏွင့္သခ်ၤာပညာေရး ဆုိင္ရာ ေဆြးေႏြးပဲြ အေတြ႔အႀကံဳမ်ား -
 အပုိင္း 3
 ေဒါက္တာခင္ေမာင္ဝင္း (သခ်ၤာ)



ေနာက္တင္ခဲ့သည့္စာတမ္းမွာ စကၤပူႏုိင္ငံအမ်ိဳးသားပညာေရးတကၠသုိလ္မွ ပါေမာကၡေဒါက္တာ တုိပီခြ်န္း (Dr.Toh Pee Choon)  The teaching of Probem   Solving in Undergraduate  Maths (ဘဲြ႔ႀကိဳသခ်ၤာတြင္ သခ်ၤာပုုစၦာမ်ားတြက္ခ်က္နည္းမ်ားကုိ သင္ၾကားျခင္း) စာတမ္းကုိ ဖတ္ၾကားခဲ့ပါသည္။
          ဤစာတမ္းတြင္ M Pro SE (Mathmatical Probem   Solving) လူတုိင္းအတြက္ သခ်ၤာပုစၦာမ်ား တြက္နည္း- ဟူေသာ စာတမ္းကုိ ဘဲြ႔ႀကိဳသခ်ၤာေက်ာင္းသားမ်ားအတြက္ ဆီေလ်ာ္ေအာင္ ျပဳျပင္ျခင္းျဖစ္သည္ဟူ၍ စတင္ခဲ့သည္။ ဤစာတမ္း၏ ရည္ရြယ္ခ်က္မွာ သခ်ၤာသေဘာတရားမ်ားကုိ ေလ့လာရင္း သခ်ၤာျပႆနာမ်ား ေျဖရွင္းနည္းမ်ားကုိ အတူတဲြဖက္၍ ေလ့လာသြားႏုိင္ရန္ျဖစ္သည္။
          ဤစာတမ္းအတြက္ ေမးခြန္းေမးခ်ိန္ႏွင့္ ေဆြးေႏြးခ်ိန္သည္ မရွိသေလာက္နည္းေသာေၾကာင့္ ေမးလုိေသာေမးခြန္းတစ္ခုကုိ မေမးဘဲထားခဲ့ရပါသည္။ ထုိေမးခြန္းမွာ သခ်ၤာပုစၦာမ်ားေျဖရွင္းနည္းမ်ားကုိ သင္ၾကားရာတြင္ အလ်င္အျမန္တြက္ႏုိင္ျခင္းကုိ ဘယ္ေလာက္ဦးစားေပးသင့္ပါသနည္း-ဟူ၍ျဖစ္သည္။ အခမ္းအနားမွဴးက- ဘာေမးစရွိပါသနည္း? ဟူ၍ ေမးေသာ္လည္း၊ သူသည္ေမးေသာသူမရွိ၍ ေနာက္တစ္ေယာက္သုိ႔ အျမနေျပာင္းေစလုိေသာ ဆႏၵက ေစာေနသည္မွ ထင္ရွားေန၍ ကြ်န္ေတာ္လည္းေမးလုိစိတ္မရွိေတာ့ပါ။
          ဒီဇင္ဘာလ ၆ရက္ေန႔ တတိယေန႔အစီအစဥ္ကုိ နံနက္ ၈နာရီ တြင္ စတင္ၿပီးခဲ့ပါသည္။
ကုလ) စာတမ္းကုိ ဖတ္ၾကားပါသည္။
          ထုိစာတမ္းတြင္ ဤကဲ့သုိ႔ စတင္ခဲ့ပါသည္။ ကိန္းဂဏန္းမ်ားဆုိင္ရာ ကဲကုလသခ်ၤာသည္ ကဲကုလဆုိင္ရာပုစၦာမ်ားကုိ ကိန္းဂဏန္းဆုိင္ရာနည္းမ်ားကုိသုံး၍ ေျဖရွင္းျခင္းျဖစ္သည္။ ထုိ႔ေၾကာင့္    dy/dx ၏ ခန္႔မွန္းတန္ဖုိးမ်ားကုိ ရွာနည္းမ်ားနွင့္ integrate ခန္႔မွန္းတန္ဖုိးမ်ားကုိ ရွာနည္းမ်ားသည္ အလြန္အေရးပါပါသည္။ ဒစ္ဖရယ္ရွယ္ ညီမွ်ျခင္းမ်ားကုိ ေျဖရွာရာတြင္     dy/dx ပါဝင္ေသာညီမွ်ျခင္းမွ  y ကုိရွာျခင္းျဖစ္သည္။ အကယ္၍ y = f(x) ျဖစ္လွ်င္ 
 dy =  lim  (f(x+h)-f(x)
 dx     h à0     h
ျဖစ္သည္ကုိ အားလုံးသိၿပီးျဖစ္သည္။ သုိ႔ရာတြင္ သုညမဟုတ္ေသာ h ၏ တန္ဖုိးမ်ားအတြက္    
   (f(x+h)-f(x)    သည္     dy
             h                     dx
၏ ခန္႔မွန္းတန္ဖုိးဟု ဆုိႏုိင္ပါသည္။ ထုိခန္႔မွန္းတန္ဖုိးမ်ားကုိ အဆင္ေျပသလုိသုံး၍ ဒစ္ဖရင္ရွယ္ညီမွ်ျခင္း၏ ခန္႔မွန္းအေျဖကုိ ရွာေသာနည္းမ်ားကုိ ေလ့လာပါမည္။
          ထုိ႔ေနာက္ ပါေမာကၡ ဝယ္သာဘန္းသည္ ဒစ္ဖရင္ရွယ္ညီမွ်ျခင္းမ်ား၏ ခန္႔မွန္းအေျဖရွာေသာနည္းမ်ားကုိ ေဖၚျပသြားခဲ့ပါသည္။ သူေဖၚထုတ္ေသာနည္းမ်ား၏ ထိေရာက္မႈကုိလည္း လက္ေတြ႔အားျဖင့္ ေဖၚထုတ္ျပသသြားပါသည္။
          ပါေမာကၡ၏ ဝယ္သာဘန္း၏ စာတမ္းသည္ အလြန္စိတ္ဝင္စားစရာေကာင္းပါသည္။ ဤေနရာတြင္ ေမးစရာေမးခြန္းတစ္ခုေပၚလာပါသည္။ ဒစ္ဖရင္ရွင္ညီမွ်ျခင္းမ်ား ေျဖရွင္းနည္းသစ္မ်ားကုိေဖၚထုတ္ျပသသည့္အခါတြင္ ထုိနည္း၏ ထိေရာက္မႈကုိ ေလ့လာႏုိင္ရန္ အေျဖသိၿပီးသားျဖစ္ေသာ ဒစ္ဖရင္ရွယ္ညီမွ်ျခင္းမ်ားျဖစ္သည္။        dy/dx -2y =x  ကဲ့သုိ႔ေသာ အေျဖသိၿပီးသားညီမွ်ျခင္းမ်ားကုိ ေျဖရွင္းျပ၍၊ တကယ့္အေျဖႏွင့္ ခန္႔မွန္းအေျဖမ်ားကုိ ႏႈိင္းယွဥ္ျပသျခင္းသည္ ထိေရာက္ေသာ သင္ၾကားနည္းတစ္ခုျဖစ္ႏုိင္ပါသလား- ဟူ၍ ေမးျမန္းခ်င္ပါသည္။ သုိ႔ေသာ္ အခ်ိ္န္မရွိသျဖင့္ ေမးျမန္းႏုိင္ျခင္းမရွိခဲ့ပါ။
          ေနာက္တင္သြင္းေသာ စာတမ္းမွာ၊ ဘန္ေကာက္မွ မာဟီဒုိတကၠသုိလ္၊ သခ်ၤာဌာနမွ ေဒါက္တာ ယုစကူ(လ)ခူ (Dr. Ruth Skulkhu) ၏ Constracting a Royal Road to Mathematics for Undergraduates း an urgently needed mission ( သခ်ၤာဘဲြ႔ ႀကိဳေက်ာင္းသားမ်ားအတြက္ သခ်ၤာဆုိင္ရာေတာ္ဝင္လမ္း- အျမန္အေရးတႀကီးလုိအပ္ေနေသာ လုပ္ငန္းကိစၥ) ျဖစ္ပါသည္။
မ်ားကုိ ေဖါက္သည္ခ်ပါသည္။ ဤနည္းမ်ားကုိ သုံး၍၊ သခ်ၤာ၏ေတာ္ဝင္လမ္းဟု ေခၚအပ္ေသာ ထိေရာက္ေသာနည္းလမ္းမ်ား၊ သခ်ၤာအတန္းမ်ားကုိ ေပ်ာ္စရာပင္ေကာင္းေစေသာနည္းလမ္းမ်ား၊ ဥာဏ္ကြန္႔ျမဴးေစေသာနည္းလမ္းေကာင္းမ်ားကုိ ေဖၚထုတ္ျပသသြားပါသည္။
          ေဆြးေႏြးခ်ိန္တြင္ ကြ်န္ေတာ္က သခ်ၤာသင္ၾကားရာတြင္ ထိေရာက္မႈရွိေစမည့္ ေတာ္ေတာ္လမ္းတြင္  ရွိရမည့္ အရည္အခ်င္းငါးခုကုိ ေဆြးေႏြးတင္ျပပါသည္။ ထုိအရည္အခ်င္းငါးခုမွာ-
၁- သီအုိရီတစ္ခုကုိ ဥပမာမ်ားျဖင့္ ျပသျခင္းကုိ အေလးေပးျခင္း
၂- ပုစၦာတပြက္နည္းအသစ္မ်ားကုိ ေျပာသည့္အခါတုိင္း၊ အေျဖသိၿပီးသားပုစၦာမ်ားျဖင့္ ခ်ိန္ကုိက္၍ေဖၚျပျခင္း၊
၃- သခ်ၤာသင္ရုိးမ်ားတြင္ သခ်ၤာဘာသာပမာဏ နည္းႏုိင္သမွ်နည္းေစျခင္း၊
၄- အသုံးခ်နယ္ပယ္မ်ားကုိ အေလးေပးျခင္း၊ သုိ႔ရာတြင္ သခ်ၤာကုိ အသုံးခ်ေသာ ဘာသာရပ္တစ္ခုကုိ    ေျပာျပရာတြင္၊ သခ်ၤာကုိအေလးမေပးဘဲ၊ ထုိဘာသာရပ္ကုိ အေလးေပးျခင္း၊ ဥပမာ ဇီဝေဗဒတြင္ အသုံးခ်ျခငး္ကုိ ေျပာေသာအခါ၊ သခ်ၤာဘာသာကုိ နည္း၍၊ ဇီဝေဗဒဘာသာကို မ်ားမ်ားေျပာျခင္း၊
၅- သခ်ၤာသမုိင္းသည္ သင္ရုိး၏ အေရးပါေသာအခန္းကပါဝင္ေစၿပီး၊ သခ်ၤာအေၾကာင္းထက္ သမုိင္းကုိဦးစားေပးျခင္း၊
          ဤသည္ကား သခ်ၤာသင္ၾကးျခင္း၏ ေတာ္ဝင္လမ္းတြင္ ပါဝင္သင့္ေသာအရာမ်ားျဖစ္ပါသည္။
          ပါေမာကၡရီတာ က ကြ်န္ေတာ္ေးျပာေသာအခ်က္အလက္မ်ားကုိ မွတ္သားထားၿပီး၊ သူ၏သခ်ၤာသင္ၾကားေရးကုိ ပုိေကာင္းေအာင္ ေဆာင္ရြက္ပါမည္ဟု ဂတိေပးခဲ့သည္။ ထုိ႔ေနာက္ ကြ်န္ေတာ္စာရြက္ေပၚတြင္ ေရးသားထားေသာမွတ္စုမ်ားကုိ ဓါတ္ပုံရုိက္၍ ယူသြားပါသည္။
          ေနာက္တင္သည့္ စာတမ္းမွာ ျပင္သစ္ႏုိင္ငံ၊ နိတကၠသုိလ္မွ၊ ဂုဏ္ထူးေဆာင္ပါေမာကၡ၊ မုိကၠယ္ ဂ်န္ဘူ(Michel Jambu) ၏ Geometry and Computer Vision  ကြန္ျပဴတာႏွင့္ ေဂ်ာ္ေမထရီအျမင္) ျဖစ္သည္။ ဤစာတမ္းတြင္ ဤသုိ႔ေျပာၾကားခဲ့သည္။
          ဒုိင္မင္းရွင္း ႏွစ္ခုရွိ (အလ်ား၊ အနံသာရွိေသာ) ပုံမွ ဒုိင္မင္းရွင္း သုံးခုရွိ( အလ်ား၊ အနံ၊ အျမင့္ရွိေသာ) အရာဝတၳဳကုိ ေဖၚထုတ္ျခင္းသည္ လူအေနျဖင့္ သိပ္မခဲယင္းေသာ္လည္း၊ ကြန္ျပဴတာအဖုိ႔ အလြန္ပင္ ခက္ခဲေသာ အလုပ္ျဖစ္ပါသည္။ ဤကိစၥတြင္ Projective Geometry ေခၚ ပုံရိပ္ခ် ေဂ်ာ္မက္ထရီဘာသာကုိ သုံးရပါသည္။ ဤစာတမ္းတြင္ ဤဘာသာရပ္၏ မိတ္ဆက္အေျခခံမ်ားကုိ ေဖၚျပပါမည္။ ထုိ႔ေနာက္ပုံရိပ္ခ် ေဂ်ာ္မက္ထရီမွ လုိအပ္ေသာအခ်က္အလက္မ်ားကုိ တင္ျပၿပီး၊ ဒုိင္မင္းရွင္းေျပာင္ျခင္းဆုိင္ရာတြင္ အသုံးခ်ေသာ ကိရိယာမ်ားကုိ ေဆာက္လုပ္ပါမည္။
          ဤစာတမ္းသည္ အလြန္စိတ္ဝင္စားစရာေကာင္းပါသည္။ သုိ႔ေသာ္ ေမးခြန္းမ်ားေမးရန္ေပးေသာအခ်ိန္မရွိသျဖင့္၊ ေမးခ်င္ေသာေမးခြန္းမ်ားကုိ ေမးခြင့္မရခဲ့ပါ။ ကြ်န္ေတာ္ေမးလုိေသာေမးခြန္းမွာ-
          ပါေမာကၡႀကီးအေနနဲ႔၊ ဒုိင္မင္းရွင္းသုံးခုပါေသာ ကြန္ျပဴတာဂိမ္း(3D Computer Game)မ်ားကုိ ကစားဖူးပါသလား? ဤကြန္ျပဴတာဂိ္မ္းမ်ားသည္  စစ္တုိက္ကစားနည္းမ်ားျဖစ္သည္ဟု ၾကားဖူးပါသည္။ ထုိဂိမ္းမ်ားကုိ တည္ထြင္ေသာ ဂြ်န္ကါးမက္( John Carmack) ကုိ လူမ်ားက၊ အၾကမ္းဖက္မႈႏွင့္ ေသနတ္ပစ္မႈမ်ားသည္ ထုိဂိမ္းမ်ားေၾကာင့္ ျဖစ္သည္ဟူ၍ အျပစ္တင္ေဝဖန္ၾကသည္။ ဤကိစၥႏွင့္ပတ္သက္၍ ဘယ္လုိျမင္ပါသလဲ?
          ေနာက္တင္သြင္းေသာစာတမ္းမွာ ပါေမာကၡေပၚလီစုိင္း (Prof. Polly W-Sy)ျဖစ္သည္။ ပါေမာကၡတင္သြင္းေသာ စာတမ္းမွာ ဖီဘုိနာစီ ကိန္းစဥ္မ်ား( Fibonacci Sequence) ႏွင့္ အျခားကိန္းဂဏန္း ကိန္းစဥ္မ်ား၏ ပုံစံမွာ ဤသုိ႔ျဖစ္သည္။
          1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,….ဤကိန္းစဥ္၏ ကိ္န္းဂဏန္းတုိင္းသည္ သူ႔ေရွ႕ကဂဏန္းႏွစ္လုံး၏ ေပါင္းလဒ္ျဖစ္သည္။ ဥပမာ 1+1=2, 1+2=3, 3+5=8, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55, ………ျဖစ္သည္။ ထုိုကိ္န္းစဥ္၏ တတိယကိန္းမွ စတင္၍ ရရွိေသာအခ်ိဳးမ်ားျဖစ္ေသာ္
    2/3 ,  3/5   ,  5/8  , 8/13   ,  13/21  ,
တုိ႔ကုိ ေရႊအခ်ိဳးမ်ား (golden ratios) ဟုေခၚသည္။ ထုိအခ်ိဳးမ်ားအတုိင္း တည္ေဆာက္ထားေသာ ေထာင့္မွန္စတုဂံမ်ားကုိ ေရႊစတုဂံမ်ား golden rectangles  ဟုေခၚသည္။

          ယင္္းစတုဂံမ်ားသည္ အလြန္လွပၿပီး၊ အခ်ိဳးက်ေသာစတုဂံမ်ားျဖစ္သည္ဟူ၍ သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားက ယုံၾကည္ၾကသည္။
          ဤစာတမ္းႏွင့္ပတ္သက္၍လည္း ေမးစရာရွိေသာ္လည္း၊ အခ်ိန္မရွိသျဖင့္ ေမးလုိက္ရေသာေမးခြန္းတစ္ခုရွိပါသည္။ ၄င္းမွာ-
          ကြ်ႏု္ပ္တုိ႔ အိမ္တြင္အသုံးျပဳေနေသာ ရုပ္ျမင္သံၾကားစက္မ်ားကုိ ေထာင့္ျဖတ္မ်ဥ္း၏ အလ်ားမ်ားျဖစ္ၾကေသာ   20”    30”  40”              စသည္ျဖင့္ တုိင္းတာၾကသည္ကုိ ေတြ႔ရပါသည္။ ယင္းရုပ္ျမင္သံၾကားစက္မ်ား၏ အလ်ားႏွင့္အနံတုိ႔ကုိ ၾကည့္ေသာ္၊ အလ်ားသည္ အလြန္ရွည္ေနသည္ကုိ ေတြ႔ရပါသည္။ အကယ္၍ ရုပ္ျမင္သံၾကားစက္မ်ား၏  ဖန္သား၏ အလ်ားႏွင့္အနံအခ်ိဳးကုိ ေရႊစတုဂံ၏ အခ်ဳိးမ်ားျဖင့္ တည္ေဆာက္လွ်င္၊ ပုိ၍ အခ်ဳိးက်၊ လွပမည္ ျဖစ္မည္ု ယူဆပါသလား? 

(ဆက္ရန္) 

Monday, January 18, 2016

The Eighth International Conference on Science and Mathematics Education in Developing Countries (Part 4) Dr Khin Maung Win



The  Eighth International Conference on Science and Mathematics Education in     Developing  Countries

Part (4)

                                      Dr Khin Maung Win 


(Arts Assembly)

The next paper was read by Dr. Aye Pyone of Mathematics Department , Yan University.It was called Chinese Remainder Theorem  and Its Applications.Remainder Theorem ) without the adjective Chinese ) is part of the  10 th standard course. The Chinese Remainder Theoremis part of the Number Theory.I remember what my teacher said about this theory.Hs said – those who want to make a name in mathematics with just a knowledge of the four basic operations,addition,subtraction, multiplication,division   should study number theory, where there are still many unsolved problems whose solutions have evaded the experts.Saying that,he recounted to us the way Euler answered Fermats question which has beaten the experts for more than  a hundred years. 
(At Arts Assembly)

   In order to understand the statement of the Chinese Remainder Theorem  on must know the definition of relatively prime  and the meaning of the equation   x = y mod m  . Two numbers are relatively prime means that the only number which divides both of them is one.For example  6 and 7 are relatively prime    but  6 and 8  are not.
 The equation     x = y mod m    means that    x – y   or  y-x   is divisible  by  m . For example     7  =  13  mod 2    ., since   13 – 7   =  6     is divisible  by   2 .
The statement of the theorem is as follows ; If
 b1,b2,b3, ……..are positive integers  and    m1,m2,m3,………   are pairwise relatively prime,then there exists  unique  x   which satisfies the equations     x = bi mod mi  ,   for   i= 1,2,3,…..n.

(I am with  a professor)

This statement is called Chinese Remainder Theorem.In the conclusion it is stated that   there exists a unique   x   such that    x-b1,x-b2, x-b3 ,  ……    is divisible by  m1,m2,m3,  ……….It assures us of the existence of  x  ,as most existence  theorems do, but it does not tell us how it find it. The following example illustrates that point.

(With Myanmar Professors at front.)
Two express trains depart from Yangon to Mandalay  at  40 pph   and  43  mph  respectively.They remain  at  6   and  22 miles  to reach Mandalay  respectively  after travelling  a few hours, . Find the distance between Yangon and  Mandalay.
             Yangon  x---------------------------------------x Mandalay
                                    40 mph        ,  43 mph  
    Let   the distance between   Yangon and Mandalay  be   x   miles.   
          x – 6     is   divisible  by    40 .
           x – 22   is    divisible    by   43   
   In Chinese Reminder Theorem  we take        b1 =  6   ,   b2=  22 
                                                                           n1 = 40   ,  n2 =  43
    Then   40  and  43   are relatively prime,. Hence by the theorem, there exists a unique  x   such  that  x-6  is divisible  by  40   and   x – 22       is divisible by  43.
    Hence   for some  integers   a   and   b  ,   x-6 =40a  and    x-22 =  43b .
   Hence   40a + 6  = 43b + 22 =  x            …………#
 We try to find  the values of the  expressions  40a+6   and  43b+ 22   by trial and error to find   x    whose existence and uniqueness are assured by the theorem.
                         40a + 6                    43b + 22
                   a=1,      46                     b= 1   ,   65
                    a=2    ,    86                   b=2  ,   108
                    ………………………………….
             a= 9    ,  366                        b = 8   ,    366
According the trial and error,    When  a = 9   and   b=8 ,   x= 366 miles.

(With my friends professors.)
On the third day afternoon,there was a panel discussion and closing ceremony.The questions  to be discussed at the panel discussion were asked  for to be given in advance.
   When the time came,there were  eight professors seated on the stage.They took turns to talk about which I did not understand a word. I think it was a waste of time.After a waste of one hour,the questions from the aucience were shown on the screen.I do not remember the questions of the others. I can only relate to the readers the question I posed and how it was answered.My question was as follows
;        In the teaching of problem solving skills, how much emphasis should be given to the speed with which the solution is  arrived at ? Choose one of the answers.   1.  A little     2.   Much      3. Not at all .
    My own opinion is  number  3 , not at all .
(I am at a lunch.)
In answering the question  a talk on the objectives of teaching of problem solving without giving the direct answer to the questAt the closing ceremony,the president announced that the next conference would be held next year at Mandalay.
     That is the end of  my experience at the conference.  

Dr' Khin Maung Win
Retired Professor of Mathematics 
Rangoon University
Burma