ဖြံ႔ၿဖိဳးဆဲႏုိင္ငံမ်ားတြင္ ရွစ္ႀကိမ္ေျမာက္ သိပံၸႏွင့္သခ်ၤာပညာေရး ဆုိင္ရာ ေဆြးေႏြးပဲြ အေတြ႔အႀကံဳမ်ား - အပုိင္း 4 ေဒါက္တာခင္ေမာင္ဝင္း (သခ်ၤာ)

ဖြံ႔ၿဖိဳးဆဲႏုိင္ငံမ်ားတြင္ ရွစ္ႀကိမ္ေျမာက္ သိပံၸႏွင့္သခ်ၤာပညာေရး ဆုိင္ရာ ေဆြးေႏြးပဲြ အေတြ႔အႀကံဳမ်ား - အပုိင္း 4

 ေဒါက္တာခင္ေမာင္ဝင္း (သခ်ၤာ)

          ေနာက္တင္ခဲ့သည့္စာတမ္းမွာ စကၤပူႏုိင္ငံအမ်ိဳးသားပညာေရးတကၠသုိလ္မွ ပါေမာကၡေဒါက္တာ တုိပီခြ်န္း (Dr.Toh Pee Choon)  The teaching of Problem Solving in Undergraduate Level   (ဘဲြ႔ႀကိဳသခ်ၤာတြင္ သခ်ၤာပုုစၦာမ်ားတြက္ခ်က္နည္းမ်ားကုိ သင္ၾကားျခင္း) စာတမ္းကုိ ဖတ္ၾကားခဲ့ပါသည္။

          ဤစာတမ္းတြင္ M Pro SE (Mathmatical Problem    Solving) လူတုိင္းအတြက္ သခ်ၤာပုစၦာမ်ား တြက္နည္း- ဟူေသာ စာတမ္းကုိ ဘဲြ႔ႀကိဳသခ်ၤာေက်ာင္းသားမ်ားအတြက္ ဆီေလ်ာ္ေအာင္ ျပဳျပင္ျခင္းျဖစ္သည္ဟူ၍ စတင္ခဲ့သည္။ ဤစာတမ္း၏ ရည္ရြယ္ခ်က္မွာ သခ်ၤာသေဘာတရားမ်ားကုိ ေလ့လာရင္း သခ်ၤာျပႆနာမ်ား ေျဖရွင္းနည္းမ်ားကုိ အတူတဲြဖက္၍ ေလ့လာသြားႏုိင္ရန္ျဖစ္သည္။

          ဤစာတမ္းအတြက္ ေမးခြန္းေမးခ်ိန္ႏွင့္ ေဆြးေႏြးခ်ိန္သည္ မရွိသေလာက္နည္းေသာေၾကာင့္ ေမးလုိေသာေမးခြန္းတစ္ခုကုိ မေမးဘဲထားခဲ့ရပါသည္။ ထုိေမးခြန္းမွာ သခ်ၤာပုစၦာမ်ားေျဖရွင္းနည္းမ်ားကုိ သင္ၾကားရာတြင္ အလ်င္အျမန္တြက္ႏုိင္ျခင္းကုိ ဘယ္ေလာက္ဦးစားေပးသင့္ပါသနည္း-ဟူ၍ျဖစ္သည္။ အခမ္းအနားမွဴးက- ဘာေမးစရွိပါသနည္း? ဟူ၍ ေမးေသာ္လည္း၊ သူသည္ ေနာက္တစ္ေယာက္သုိ႔ အျမန္ေျပာင္းေစလုိေသာ ဆႏၵက ေစာေနသည္မွာ ထင္ရွားေန၍ ကြ်န္ေတာ္လည္းေမးလုိစိတ္မရွိေတာ့ပါ။

          ဒီဇင္ဘာလ ၆ရက္ေန႔ တတိယေန႔အစီအစဥ္ကုိ နံနက္ ၈နာရီ တြင္ စတင္ၿပီးခဲ့ပါသည္။ American Mathematical Society   မွ  Professor Fairweather  က Numerical Calculus in Approximate Solution of Differential Equations 

 စာတမ္းကုိ ဖတ္ၾကားပါသည္။

          ထုိစာတမ္းတြင္ ဤကဲ့သုိ႔ စတင္ခဲ့ပါသည္။ ကိန္းဂဏန္းမ်ားဆုိင္ရာ ကဲကုလသခ်ၤာသည္ ကဲကုလဆုိင္ရာပုစၦာမ်ားကုိ ကိန္းဂဏန္းဆုိင္ရာနည္းမ်ားကုိသုံး၍ ေျဖရွင္းျခင္းျဖစ္သည္။ ထုိ႔ေၾကာင့္(  dy/dx) ၏ ခန္႔မွန္းတန္ဖုိးမ်ားကုိ ရွာနည္းမ်ားနွင့္ ၄င္း တို႕    integral  ခန္႔မွန္းတန္ဖုိးမ်ားကုိ ရွာနည္းမ်ားသည္ အလြန္အေရးပါပါသည္။ ဒစ္ဖရယ္ရွယ္ ညီမွ်ျခင္းမ်ားကုိ ေျဖရွာရာတြင္(  dy/dx) ပါဝင္ေသာညီမွ်ျခင္းမွ  y ကုိရွာျခင္းျဖစ္သည္။ အကယ္၍ y = f(x) ျဖစ္လွ်င္          dy =   lim    f(x+h) – f(x)

                                                                   dx      h—0        h

,      ျဖစ္သည္ကုိ အားလုံးသိၿပီးျဖစ္သည္။ သုိ႔ရာတြင္ သုညမဟုတ္ေသာ h ၏ တန္ဖုိးမ်ားအတြက္ 

 f(x+h) _  f(x)         သည္ (dy)

     h                            dx

 ၏ ခန္႔မွန္းတန္ဖုိးဟု ဆုိႏုိင္ပါသည္။ ထုိခန္႔မွန္းတန္ဖုိးမ်ားကုိ အဆင္ေျပသလုိသုံး၍ ဒစ္ဖရင္ရွယ္ညီမွ်ျခင္း၏ ခန္႔မွန္းအေျဖကုိ ရွာေသာနည္းမ်ားကုိ ေလ့လာပါမည္။

          ထုိ႔ေနာက္ ပါေမာကၡ ဝယ္သာဘန္းသည္ ဒစ္ဖရင္ရွယ္ညီမွ်ျခင္းမ်ား၏ ခန္႔မွန္းအေျဖရွာေသာနည္းမ်ားကုိ ေဖၚျပသြားခဲ့ပါသည္။ သူေဖၚထုတ္ေသာနည္းမ်ား၏ ထိေရာက္မႈကုိလည္း လက္ေတြ႔အားျဖင့္ ေဖၚထုတ္ျပသသြားပါသည္။

          ပါေမာကၡ၏ ဝယ္သာဘန္း၏ စာတမ္းသည္ အလြန္စိတ္ဝင္စားစရာေကာင္းပါသည္။ ဤေနရာတြင္ ေမးစရာေမးခြန္းတစ္ခုေပၚလာပါသည္။ ဒစ္ဖရင္ရွင္ညီမွ်ျခင္းမ်ား ေျဖရွင္းနည္းသစ္မ်ားကုိေဖၚထုတ္ျပသသည့္အခါတြင္ ထုိနည္း၏ ထိေရာက္မႈကုိ ေလ့လာႏုိင္ရန္ အေျဖသိၿပီးသားျဖစ္ေသာ ဒစ္ဖရင္ရွယ္ညီမွ်ျခင္းမ်ားျဖစ္သည္။    dy/dx – 2y  =   x  ကဲ့သုိ႔ေသာ အေျဖသိၿပီးသားညီမွ်ျခင္းမ်ားကုိ ေျဖရွင္းျပ၍၊ တကယ့္အေျဖႏွင့္ ခန္႔မွန္းအေျဖမ်ားကုိ ႏႈိင္းယွဥ္ျပသျခင္းသည္ ထိေရာက္ေသာ သင္ၾကားနည္းတစ္ခုျဖစ္ႏုိင္ပါသလား- ဟူ၍ ေမးျမန္းခ်င္ပါသည္။ သုိ႔ေသာ္ အခ်ိ္န္မရွိသျဖင့္ ေမးျမန္းႏုိင္ျခင္းမရွိခဲ့ပါ။

          ေနာက္တင္သြင္းေသာ စာတမ္းမွာ၊ ဘန္ေကာက္မွ မာဟီဒုိတကၠသုိလ္၊ သခ်ၤာဌာနမွ ေဒါက္တာ ယုစကူ(လ)ခူ (Dr. Ruth Skulkhu) ၏ Constracting a Royal Road to Mathematics for Undergraduates း an urgently needed mission ( သခ်ၤာဘဲြ႔ ႀကိဳေက်ာင္းသားမ်ားအတြက္ သခ်ၤာဆုိင္ရာေတာ္ဝင္လမ္း- အျမန္အေရးတႀကီးလုိအပ္ေနေသာ လုပ္ငန္းကိစၥ) ျဖစ္ပါသည္။

မ်ားကုိ ေဖါက္သည္ခ်ပါသည္။ ဤနည္းမ်ားကုိ သုံး၍၊ သခ်ၤာ၏ေတာ္ဝင္လမ္းဟု ေခၚအပ္ေသာ ထိေရာက္ေသာနည္းလမ္းမ်ား၊ သခ်ၤာအတန္းမ်ားကုိ ေပ်ာ္စရာပင္ေကာင္းေစေသာနည္းလမ္းမ်ား၊ ဥာဏ္ကြန္႔ျမဴးေစေသာနည္းလမ္းေကာင္းမ်ားကုိ ေဖၚထုတ္ျပသသြားပါသည္။

          ေဆြးေႏြးခ်ိန္တြင္ ကြ်န္ေတာ္က သခ်ၤာသင္ၾကားရာတြင္ ထိေရာက္မႈရွိေစမည့္ ေတာ္ေတာ္လမ္းတြင္  ရွိရမည့္ အရည္အခ်င္းငါးခုကုိ ေဆြးေႏြးတင္ျပပါသည္။ ထုိအရည္အခ်င္းငါးခုမွာ-

၁- သီအုိရီတစ္ခုကုိ ဥပမာမ်ားျဖင့္ ျပသျခင္းကုိ အေလးေပးျခင္း

၂- ပုစၦာတပြက္နည္းအသစ္မ်ားကုိ ေျပာသည့္အခါတုိင္း၊ အေျဖသိၿပီးသားပုစၦာမ်ားျဖင့္ ခ်ိန္ကုိက္၍ေဖၚျပျခင္း၊

၃- သခ်ၤာသင္ရုိးမ်ားတြင္ သခ်ၤာဘာသာပမာဏ နည္းႏုိင္သမွ်နည္းေစျခင္း၊

၄- အသုံးခ်နယ္ပယ္မ်ားကုိ အေလးေပးျခင္း၊ သုိ႔ရာတြင္ သခ်ၤာကုိ အသုံးခ်ေသာ ဘာသာရပ္တစ္ခုကုိ    ေျပာျပရာတြင္၊ သခ်ၤာကုိအေလးမေပးဘဲ၊ ထုိဘာသာရပ္ကုိ အေလးေပးျခင္း၊ ဥပမာ ဇီဝေဗဒတြင္ အသုံးခ်ျခငး္ကုိ ေျပာေသာအခါ၊ သခ်ၤာဘာသာကုိ နည္း၍၊ ဇီဝေဗဒဘာသာကို မ်ားမ်ားေျပာျခင္း၊

၅- သခ်ၤာသမုိင္းသည္ သင္ရုိး၏ အေရးပါေသာအခန္းကပါဝင္ေစၿပီး၊ သခ်ၤာအေၾကာင္းထက္ သမုိင္းကုိဦးစားေပးျခင္း၊

          ဤသည္ကား သခ်ၤာသင္ၾကးျခင္း၏ ေတာ္ဝင္လမ္းတြင္ ပါဝင္သင့္ေသာအရာမ်ားျဖစ္ပါသည္။

          ပါေမာကၡရီတာ က ကြ်န္ေတာ္ေးျပာေသာအခ်က္အလက္မ်ားကုိ မွတ္သားထားၿပီး၊ သူ၏သခ်ၤာသင္ၾကားေရးကုိ ပုိေကာင္းေအာင္ ေဆာင္ရြက္ပါမည္ဟု ဂတိေပးခဲ့သည္။ ထုိ႔ေနာက္ ကြ်န္ေတာ္စာရြက္ေပၚတြင္ ေရးသားထားေသာမွတ္စုမ်ားကုိ ဓါတ္ပုံရုိက္၍ ယူသြားပါသည္။

          ေနာက္တင္သည့္ စာတမ္းမွာ ျပင္သစ္ႏုိင္ငံ၊ နိတကၠသုိလ္မွ၊ ဂုဏ္ထူးေဆာင္ပါေမာကၡ၊ မုိကၠယ္ ဂ်န္ဘူ(Michel Jambu) ၏ Geometry and Computer Vision  ကြန္ျပဴတာႏွင့္ ေဂ်ာ္ေမထရီအျမင္) ျဖစ္သည္။ ဤစာတမ္းတြင္ ဤသုိ႔ေျပာၾကားခဲ့သည္။

          ဒုိင္မင္းရွင္း ႏွစ္ခုရွိ (အလ်ား၊ အနံသာရွိေသာ) ပုံမွ ဒုိင္မင္းရွင္း သုံးခုရွိ( အလ်ား၊ အနံ၊ အျမင့္ရွိေသာ) အရာဝတၳဳကုိ ေဖၚထုတ္ျခင္းသည္ လူအေနျဖင့္ သိပ္မခဲယင္းေသာ္လည္း၊ ကြန္ျပဴတာအဖုိ႔ အလြန္ပင္ ခက္ခဲေသာ အလုပ္ျဖစ္ပါသည္။ ဤကိစၥတြင္ Projective Geometry ေခၚ ပုံရိပ္ခ် ေဂ်ာ္မက္ထရီဘာသာကုိ သုံးရပါသည္။ ဤစာတမ္းတြင္ ဤဘာသာရပ္၏ မိတ္ဆက္အေျခခံမ်ားကုိ ေဖၚျပပါမည္။ ထုိ႔ေနာက္ပုံရိပ္ခ် ေဂ်ာ္မက္ထရီမွ လုိအပ္ေသာအခ်က္အလက္မ်ားကုိ တင္ျပၿပီး၊ ဒုိင္မင္းရွင္းေျပာင္ျခင္းဆုိင္ရာတြင္ အသုံးခ်ေသာ ကိရိယာမ်ားကုိ ေဆာက္လုပ္ပါမည္။

          ဤစာတမ္းသည္ အလြန္စိတ္ဝင္စားစရာေကာင္းပါသည္။ သုိ႔ေသာ္ ေမးခြန္းမ်ားေမးရန္ေပးေသာအခ်ိန္မရွိသျဖင့္၊ ေမးခ်င္ေသာေမးခြန္းမ်ားကုိ ေမးခြင့္မရခဲ့ပါ။ ကြ်န္ေတာ္ေမးလုိေသာေမးခြန္းမွာ-

          ပါေမာကၡႀကီးအေနနဲ႔၊ ဒုိင္မင္းရွင္းသုံးခုပါေသာ ကြန္ျပဴတာဂိမ္း(3D Computer Game)မ်ားကုိ ကစားဖူးပါသလား? ဤကြန္ျပဴတာဂိ္မ္းမ်ားသည္  စစ္တုိက္ကစားနည္းမ်ားျဖစ္သည္ဟု ၾကားဖူးပါသည္။ ထုိဂိမ္းမ်ားကုိ တည္ထြင္ေသာ ဂြ်န္ကါးမက္( John Carmack) ကုိ လူမ်ားက၊ အၾကမ္းဖက္မႈႏွင့္ ေသနတ္ပစ္မႈမ်ားသည္ ထုိဂိမ္းမ်ားေၾကာင့္ ျဖစ္သည္ဟူ၍ အျပစ္တင္ေဝဖန္ၾကသည္။ ဤကိစၥႏွင့္ပတ္သက္၍ ဘယ္လုိျမင္ပါသလဲ?

          ေနာက္တင္သြင္းေသာစာတမ္းမွာ ပါေမာကၡေပၚလီစုိင္း (Prof. Polly W-Sy)ျဖစ္သည္။ ပါေမာကၡတင္သြင္းေသာ စာတမ္းမွာ ဖီဘုိနာစီ ကိန္းစဥ္မ်ား( Fibonacci Sequence) ႏွင့္ အျခားကိန္းဂဏန္း ကိန္းစဥ္မ်ား၏ ပုံစံမွာ ဤသုိ႔ျဖစ္သည္။

          1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,….ဤကိန္းစဥ္၏ ကိ္န္းဂဏန္းတုိင္းသည္ သူ႔ေရွ႕ကဂဏန္းႏွစ္လုံး၏ ေပါင္းလဒ္ျဖစ္သည္။ ဥပမာ 1+1=2, 1+2=3, 3+5=8, 8+13=21, 13+21=34, 21+34=55, ………ျဖစ္သည္။ ထုိုကိ္န္းစဥ္၏ တတိယကိန္းမွ စတင္၍ ရရွိေသာအခ်ိဳးမ်ားျဖစ္ ေသာ 

2/3 , 3/5 , 5/8 ,  8/13 ,  13/21  ,

တုိ႔ကုိ ေရႊအခ်ိဳးမ်ား (golden ratios) ဟုေခၚသည္။ ထုိအခ်ိဳးမ်ားအတုိင္း တည္ေဆာက္ထားေသာ ေထာင့္မွန္စတုဂံမ်ားကုိ ေရႊစတုဂံမ်ား golden rectangles  ဟုေခၚသည္။

          ယင္္းစတုဂံမ်ားသည္ အလြန္လွပၿပီး၊ အခ်ိဳးက်ေသာစတုဂံမ်ားျဖစ္သည္ဟူ၍ သခ်ၤာပညာရွင္မ်ားက ယုံၾကည္ၾကသည္။

          ဤစာတမ္းႏွင့္ပတ္သက္၍လည္း ေမးစရာရွိေသာ္လည္း၊ အခ်ိန္မရွိသျဖင့္ မေမးလုိက္ရေသာေမးခြန္းတစ္ခုရွိပါသည္။ ၄င္းမွာ-

          ကြ်ႏု္ပ္တုိ႔ အိမ္တြင္အသုံးျပဳေနေသာ ရုပ္ျမင္သံၾကားစက္မ်ားကုိ ေထာင့္ျဖတ္မ်ဥ္း၏ အလ်ားမ်ားျဖစ္ၾကေသာ  20”   30”   40”     စသည္ျဖင့္ တုိင္းတာၾကသည္ကုိ ေတြ႔ရပါသည္။ ယင္းရုပ္ျမင္သံၾကားစက္မ်ား၏ အလ်ားႏွင့္အနံတုိ႔ကုိ ၾကည့္ေသာ္၊ အလ်ားသည္ အလြန္ရွည္ေနသည္ကုိ ေတြ႔ရပါသည္။ အကယ္၍ ရုပ္ျမင္သံၾကားစက္မ်ား၏  ဖန္သား၏ အလ်ားႏွင့္အနံအခ်ိဳးကုိ ေရႊစတုဂံ၏ အခ်ဳိးမ်ားျဖင့္ တည္ေဆာက္လွ်င္၊ ပုိ၍ အခ်ဳိးက်၊ လွပမည္ ျဖစ္မည္ု ယူဆပါသလား?

          ေနာက္တင္သြင္းသည့္စာတမ္းမွာ ေမသိရိသဇင္( တတိယႏွစ္၊ COE ေက်ာင္းသူ၊ မႏၱေလးတကၠသုိလ္၏ The Mathematical Culture in Myanmar ( ျမန္မာႏုိင္ငံ၏ သခ်ၤာ ယဥ္ေက်းမႈ) ျဖစ္သည္။ ဤ စာတမ္းတြင္ ေရွးျမန္မာႏုိင္ငံတြင္ သခ်ၤာ၏အခန္းက႑ကုိ ေဖၚျပသြားပါသည္။ ျမန္မာလူမ်ိဳးတုိ႔၏ ေန႔စဥ္ဘဝတြင္ ပါဝင္ေနေသာ သခ်ၤာသေလာတရားမ်ားကုိ ေဖၚျပသြားပါသည္။ ဥပမာအားျဖင့္ အခ်ိန္တုိင္းတာရာတြင္ အသေခ်ၤ၊ အသခ်ၤာ၊ အေလးခ်ိန္တုိင္းတာရာတြင္ က်ပ္သား၊ ပိႆာ၊ ထုထည္တုိင္းတာရာတြင္ ျပည္၊ တင္း၊ အကြာအေဝးတုိင္းတာရာတြင္ ယူဇနာ၊ စသည္တုိ႔ကုိ ေျပာရင္း၊ ကမာၻအရပ္ရပ္တြင္ သုံးေနေသာတုိင္းတာနည္းစနစ္မ်ားျဖင့္ ဆက္သြယ္ပုံတုိ႔ကုိ ေျပာသြားပါသည္။

          ဤစာတမ္း    တြ င္ ကြ်န္ေတာ္ကုိယ္တုိင္ပင္ မေျဖႏုိင္ေသာ ေမးခြန္းတစ္ခုကုိ ဤကဲ့သုိ႔ေမးခဲ့ပါသည္။ ဆန္ရဲ႕ထုထည္ကုိ တုိင္းတာရာမွာ တစ္ျပည္ကုိ ရွစ္လုံးလုိ႔ၾကားဖူးပါတယ္။ အိမ္ေတြမွာထမင္းခ်က္တဲ့အခါမွာ ႏုိ႔ဆီဘူးတစ္လုံး၊ ႏွစ္လုံးစသည္ျဖင့္ တုိင္းတာၾကပါတယ္။ ဒီေနရာမွာထူးဆန္းေနတာတစ္ခုက ျပည္၊ တင္း၊ အစစရွိတဲ့ တုိင္းတာမႈေတြဟာ ေရွးက်တဲ့စနစ္ေးတြျဖစ္ပါတယ္။ ႏုိ႔ဆီဘူးဆုိတာက အခုသိပံၸၸတုိးတက္တဲ့ေခတ္မွာ ေခတ္သစ္တီထြင္မႈတစ္ခုျဖစ္ပါတယ္။ တစ္ျပည္ကုိရွစ္လုံး အားလုံးကလက္ခံထားၾကပါတယ္။ အခုလုိ ေရွးကတည္းက ေပၚေပါက္ခဲ့တဲ့ အသုံးအႏႈန္းနဲ႔၊ အခုေခတ္တီထြင္ထားတဲ့ ႏုိ႔ဆီဘူးဟာ၊ ဘယ္လုိလုပ္ၿပီး ဆက္စပ္သြားတာလဲ

။ တုိက္ဆုိင္တာဆုိရင္လည္း ဒါကုိဘယ္လုိေတြ႔တာလဲ၊ ဘယ္တုန္းက ဘယ္သူကေတြ႔တာလဲ?

          ဒီေမးခြန္းကေတာ့ အားလုံးအတြက္ ေတြးစရာတစ္ခုအေနနဲ႔ဘဲ အဆုံးသတ္သြားပါတယ္။

          ေနာက္တင္သြင္္းသည့္ စာတမ္းမွာ ရန္ကုန္တကၠသုိလ္သခ်ၤာဌာနမွ ေဒါက္တာေအးၿပဳံး၏ (             )(တရုတ္စားၾကြင္းသီအုိရမ္ႏွင့္ အသံုးခ်ပုံမ်ား) ျဖစ္သည္။

          Remainder Theorem ဟုေခၚေသာ စားၾကြင္းသီအုိရမ္သည္ ယခုဆယ္တန္းအဆင့္သင္ရုိးတန္းထဲတြင္ ပါဝင္သည္။ ၄င္းသည္ အကၡရာသခ်ၤာနယ္ပယ္ထဲတြင္ ရွိပါသည္။ Clinese Remainder Theorem သည္ကား Number Theory ဟုေခၚေသေသာ ကိန္းဂဏန္းသီအုိရီနယ္ပယ္ထဲတြင္ ပါဝင္ပါသည္။ ကိန္းဂဏန္းသီအုိရီႏွင့္ ပတ္သက္၍ ဆရာဦးကုိကုိေလးေျပာဖူးေသာစကားတစ္ခုကုိ သတိရပါသည္။ သူကဆုိသည္မွာ ခက္ခဲတဲ့ သခ်ၤာအေတြးအေခၚေတြကုိလည္း မေလ့လာဘဲ၊ အေပါင္း၊ အႏႈတ္၊ အေျမွာက္၊ အစားတက္ရုံနဲ႔ သခ်ၤာပညာရွင္ျဖစ္ခ်င္ရင္၊ ကိန္းဂဏန္းသီအုိရီကုိ ေလ့လာပါ၊ ကိန္းဂဏန္းသီအုိရီထဲက ဘယ္သူမွအေျဖမသိေသးတဲ့ ပုစၧာေတြရွိပါတယ္။ ဒီေတြကုိႀကိဳးစားၿပီး အေျဖရွာပါ။ ဤသုိ႔ဆုိၿပီး၊ သခ်ၤာပညာရွင္ အြိဳင္လာက ဖါးမက္၏အေမးကုိ ေျဖခဲ့ပုံကုိ ရွင္းျပေလးသည္။

          Chinese Rremainder Theorem ၏ အဆုိကုိနားလည္ရန္၊ relatively prime ဟုေခၚ ေဝါဟာရႏွင့္ x=y (modm) ဟူေသာ ညီမွ်ျခင္း၏ အဓိပၸါကုိ သိရပါမည္။

          ကိန္းျပည့္ႏွစ္ခုသည္ relatively prime ျဖစ္သည္ဟူသည္ကား၊ ၄င္းတုိ႔ႏွစ္ခုစလုံးကုိ စား၍ ျပတ္ေသာဂဏန္းသည္ 1ပဲရွိသည္ဟု ဆုိလုိသည္။ ဥပမာ 6 ႏွင့္7သည္ relatively primeျဖစ္သည္။ ၄င္းတုိ႔ႏွစ္ခုစလုံးကုိစား၍ ျပတ္ေသာဂဏန္းသည္ 1တစ္ခုပဲရွိသည္။ သုိ႔ေသာ္ 6 ႏွင့္ 8သည္  relatively prince မျဖစ္သည္။ ၄င္းတုိ႔ႏွစ္ခုစလုံးကုိ 2 နဲ႔ စား၍ ျပတ္သည္။

          x=y (modm)

          ဟူေသာ အဓိပၸါယ္မွာ x-y သုိ႔မဟုတ္ y-x ကုိ m နဲ႔ စာ း၍ျပတ္သည္ဟုဆုိလုိသည္။ ဥပမာ 7=13 7     7=13(mod2) ျဖစ္သည္။ အေၾကာင္းမွာ 13-7=6 ကုိ 2 နဲ႔စား၍ ျပတ္သည္။ Chinese Remainder Theorem ၏ အဆုိမွာ ဤသုိ႔ျဖစ္သည္။

                    b₁   b₂  b₃     ……   b_n        တုိ႔သည္ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္ၾကၿပီ၊  m₁  m₂ m₃  ………m_n        

           တုိ႔သည္ relatively prince ျဖစ္ေသာ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္ၾကလွ်င္

          x=b_i (modm_i ) ,   i= 1,2,…..n           ျဖစ္ေစမည့္ x တစ္ခုတည္းရိွသည္။ ဆုိလုိသည္မွာ အကယ္၍ b₁, b₂,…. b_n တုိ႔သည္ အတဲြလုိက္ ဆခဲြကိန္း 1 သာရွိေသာ (၄င္းတုိ႔ႏွစ္ခုတုိင္းကုိ စား၍ ျပတ္ေသာဂဏန္းသည္ 1တစ္ခုတည္းသာရွိေသာ) ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္ခဲ့လွ်င္

          x-b₁ ကုိ m₁ ျဖင့္ စား၍ ျပတ္ေစေသာ

          x-b₂ကုိ m₂ ျဖင့္ စား၍ ျပတ္ေစေသာ

          ……..

          x-b_n ကုိ m_n ျဖင့္စား၍ျပတ္ေစေသာ တစ္ခုတည္းေသာ ကိန္းျပည့္ x ကုိ ရွာႏုိင္လိမ့္မည္ ဟူ၏။

          ဤအဆုိကုိ Chinese Remainder Theorem(တရုတ္စားၾကြင္းသီိီအုိရမ္) ဟုေခၚ၏။

ဤစာတမ္း၏အမည္ကုိ Chinese Remaider Theorem နွင့္ အသုံးခ်ပုံမ်ားဟူ၍ ေပးထားျခင္းႏွင့္ ပတ္သက္၍ အနည္းငယ္ရွင္းရန္ လုိအပ္ပါသည္။

          Chinese Remainder ၏ အဆုိကုိေလ့လာၾကည့္ေသာအခါ၊ ေနာက္ဆုံးေကာက္ခ်က္တြင္

          x-b₁ ကို m₁ ျဖင့္ စား၍ ျပတ္ေသာ

          x-b₂ ကုိ m₂ ျဖင့္စား၍ျပတ္ေသာ 

…………………………………….

          x – b_n  ကို……m_n  ျဖင့္ စား၍  ျပ တ္ ေသာ ….

ကိန္းျပည့္ x တစ္ခုတည္းကုိ ရွာႏုိင္သည္ဟူ၍သာ ဆုိထားသည္။ ယင္းတန္ဖုိးကုိ ဘယ္လုိရွာသည္ဟူသည္ကုိ ေျပာမထားပါ။

          ထုိ႔ေၾကာင့္ဥာဏ္စမ္းပုဒ္စာမ်ားကုိ တြက္သည့္အခါ Chinese Remainder Theorem က အေျဖရွိျခင္းကုိသာ အာမခံသည္ကုိ သတိျပဳပါ။ အေျဖကုိဘယ္ရွာသည္ ဟု ေျပာမထားပါ။

          ေအာက္ပါဥာဏ္စမ္းပုစၦာသည္ ထုိအခ်က္ကုိ ေကာင္းစြာေပၚလြင္ေစပါသည္။

          ရန္ကုန္မွ မႏၱေလးသုိ႔ ခုတ္ေမာင္းေသာရထား ႏွစ္စင္းသည္ တစ္နာရီမုိင္ ၄၀ ႏႈံး၊ ႏွင့္ တစ္နာရီ ၄၃မုိင္ ႏႈံးတုိ႔ျဖင့္ အသီးသီး ခုတ္ေမာင္းၾကသည္။

          ပထမရထားျဖစ္ေသာတစ္နာရီမုိင္ ၄၀ႏႈံးျဖင့္ ေမာင္းေသာရထားသည္ အခ်ိန္နာရီအနည္းငယ္ၾကာေသာ္ မႏၱေလးေရာက္ရန္ ၆မုိင္သာလုိေတာ့သည္။ ဒုတိယရထားျဖစ္ေသာ တစ္နာရီကုိ ၄၃မုိင္ႏႈံးျဖင့္ ေမာင္းေသာရထားသည္ အခ်ိန္အနည္းငယ္ၾကာေသာ္ မႏၱေလးေရာက္ရန္ ၂၂မုိင္သာ လုိေတာ့သည္။ ရန္ကုန္ႏွင့္ မႏၱေလး၏ အကြာအေဝးကုိရွာပါ။ (အားလုံးသည္ ကိန္းျပည့္မ်ားျဖစ္သည္။)

                         

                                 40 mph                                     6m

  (   ရန္ ကုန္   ----------------------------------------------=---------­x----------  မႏၱ ေလး                                                                                    )                              43  mph                     22m

ရန္ကုန္ႏွင့္ မႏၱေလး အကြာအေဝး= x မုိင္ျဖစ္လွ်င္

(x-6) ကုိ 40ျဖင့္ စား၍ျပတ္သည္။

                                                                               

(x-22) ကုိ 43 ျဖင့္ စား၍ျပတ္သည္

Chinese Remainder Theorem ထဲတြင္

           b₁ = 6            b₂ = 22     

          m₁ = 40           m₂ = 43                                

ထုိအခါတြင္

          40 ႏွင့္ 43 တုိ႔၏ ဗုံဆခဲြကိန္းသည္  1 တစ္ခုတည္းရွိ၏။ ထုိ႔ Chinese Remaindre Theorm အရ

(x-6) ကုိ 40 ျဖင့္  စား၍ျပတ္ေသာ

(x-22) ကုိ 43 ျဖင့္ စား၍ျပတ္ေသာ

ကိန္းျပည့္ x တစ္ခုတည္းကုိ ရွာႏုိင္သည္။

(x-6) ကုိ 40 ျဖင့္  စား၍ ျပတ္ၿပီး (x-22) ကုိ 43 ျဖင့္ စား၍ ျပတ္ေသာေၾကာင့္

(x-6)= 40a

(x-22)=43b

 ျဖစ္ေစမည့္ ကိန္းျပည့္ a နွင့္ b ကုိ ရွာႏုိင္သည္။

ထုိ႔ေၾကာင့္

40a+6= x

43b+22=x

ထုိ႔ေၾကာင့္

X=40a+6 = 43b+22…….

ညီမွ်ျခင္း   ကုိ ေျပလည္ေစမည့္ ကိန္းျပည့္ a နွင့္  b ကုိရွာရန္ ေအာက္ပါအတုိင္း စမ္းသပ္ၾကည့္မည္။

                      40 a + 6                   43 b + 22

                a=1   ,  46                      b=1      , 65     

               a=  2 , 86                        b=2   ,    108    

                ……………..                     ………………..

              a= 9     ,   366                 b = 8    ,   366       ,

ဤစမ္းသပ္ခ်က္အရ

a =9 ျဖစ္လွ်င္  40a+6= 366

b=8 ျဖစ္လွ်င္ 43b+22= 366

ထုိ႔ေၾကာင့္

 x= 40a+6 =43b+22= 366

ထုိ႔ေၾကာင့္  ရန္ကုန္ႏွင့္ မႏၱေလးအကြာအေဝး= 366 မုိင္

          ဤစာတမ္းၿပီးသည့္ေနာက္၊ ေနာက္ဆုံးေန႔၏ ညေနပုိင္းအစီအစဥ္တြင္ (      )  (အစုလုိက္အဖဲြ႔၏ ေဆြးေႏြးပဲြ) ႏွင့္ ပိတ္ပဲြတုိ႔ျဖစ္ပါသည္။ အစုလုိက္အဖဲြ႔၏ ေဆြးေႏြးပဲြအတြက္ ေမးလုိသည့္ေမးခြန္းမ်ားကုိ ႀကိဳတင္၍ ေတာင္းေသာေၾကာင့္ ကြ်န္ေတာ္ေမးလုိေသာ ေမးခြႏ္းကုိ နံနက္တြင္ေပးထားခဲ့ပါသည္။

          ေဆြးေႏြးပဲြတြင္ စင္ေပၚ၌ ပါေမာကၡရွစ္ေယာက္ေလာက္ တန္းစီ၍ ထုိင္ေနၾကပါသည္။ ေဆြးေႏြးပဲြတြင္

ထုိပါေမာကၡရွစ္ေယာက္က တလွည့္စီစကားေျပာၾကပါသည္။ သူတုိ႔ဘာေတြေျပာသည္ကုိေတာ့ ကြ်န္ေတာ္ ဘာမွနားမလည္ပါ။ အခ်ိန္အားျဖင့္ တစ္နာရီေက်ာ္ၾကာသြားပါသည္။ ထုိ႔ေနာက္ စာတမ္းတင္ေသာသူမ်ားႏွင့္ အခမ္းအနားျပဳလုပ္ေသာသူမ်ားကုိ ဂုဏ္ျပဳလုပ္ေသာ သူမ်ားကုိ ဂုဏ္ျပဳလက္မွတ္မ်ားေပးသည့္ အခ်ိန္မွာလည္း တစ္နာရီေက်ာ္ေက်ာ္ ၾကာပါသည္။

          ေမးခြန္းမ်ားေျဖခ်ိန္သုိ႔ ေရာက္ေသာ္၊ တက္ေရာက္သူမ်ားကေပးထားေသာေမးခြန္းမ်ားကုိ စလုိက္နဲ႔ ထုိးျပပါသည္။ ကြ်န္ေတာ္ေမးထားခဲ့ေသာေမးခြန္းမွာ ဤသို႔ျဖစ္ပါသည္။

          သခ်ၤာသင္ၾကားရာတြင္၊ ေက်ာင္းသားအား အေျဖကုိရႏုိင္ေသာ လ်င္ျမန္ႏႈံးကုိ ဘယ္ေလာက္အေလးေပးသင့္ပါသည္။ ေအာက္ပါအေျဖမ်ားထဲမွ တစ္ခုခုကုိ ေရြးပါ။

(၁) အနည္းငယ္ ?

(၂) မ်ားမ်ား ?

(၃) လုံးဝအေလးမေပးသင့္ပါ ?

ကြ်န္ေတာ္၏ ကုိယ္ပုိင္အယူအဆမွာ နံပါတ္(၃) လုံးဝအေလးမေပးသင့္ပါ ဟူ၍ ျဖစ္ပါသည္။

          ေမးခြန္းကုိ ေျဖၾကားရာတြင္ သခ်ၤာသင္ၾကားျခင္း၏ရည္ရြယ္ခ်က္ အမ်ိဳးမ်ိဳးရွိပုံကုိသာ ေျပာသြားခဲ့ပါသည္။ ေနာက္ဆုံးပိတ္ပဲြတြင္ သခ်ၤာ အသင္းႏွင့္ ဝိဇၨာသိပၸံ ပညာရွင္အဖဲြ႔၏ ဥကၠဌက ေဒါက္တာသိမ္းျမင့္က၊ ေရွ႕ႏွစ္ ကုိးႀကိမ္ေျမာက္ေဆြးေႏြးပဲြကုိ မႏၱေလးတကၠသုိလ္တြင္ က်င္းပမည္ျဖစ္ေၾကာင္းကုိ ေၾကျငာခဲ့ပါသည္။

          ဤသည္ကား၊ ဖံြ႔ၿဖိဳးဆဲႏုိင္ငံမ်ားတြင္ ရွစ္ႀကိမ္ေျမာက္ သိပံၸႏွင့္ သခ်ၤာပညာေရးုဆိုင္ရာ ေဆြးေႏြးပဲြ၏ အေတြ႔အႀကံဳျဖစ္ပါသည္။

 The End

                                                                                      ေဒါက္တာ ခင္ေမာင္ဝင္း(သခ်ၤာ)